【線型代数 #01】線型独立と行列式の関係 - 50代で小説を書き始めた理系三流研究者のBLOG

齊藤「線型代数入門」を勉強してますが，昨日勉強したp.23に以下の定理が載っていた．

ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が線型独立 $\iff$ $\mathrm{det}(\mathbf{a},\mathbf{b})\ne 0$

筆者曰く「容易に確かめられる」とのことで説明が一切なかったので，確かめてみることにした．先ずは $\Rightarrow$ だけ考えてみます．

パッとみた感じ， $\mathrm{det}(\mathbf{a},\mathbf{b})\ne 0$ を示すのがめんどくさそうなので，「 $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が線型従属 $\Rightarrow$ $\mathrm{det}(\mathbf{a},\mathbf{b})=0$ 」を示せばいいかと思ったけど・・・

どうやらこれではダメらしい！

理由は「 $A$ ならば $B$ 」という命題と等価なのは「 $B$ でないなら $A$ でない」つまり「 $\bar{B}$ ならば $\bar{A}$ 」であって，「 $\bar{A}$ ならば $\bar{B}$ 」は必ずしも成り立たないということだ．

最初なんだそれ？と思って戸惑った．

だけど，そういえば集合論を習ったとき（かなーり昔の話だけど），逆・裏・対偶の三種類があった．そして，最初の命題と等価なのは対偶だけのはず．

そのことか！と気づいた．

ううむ・・・しばらくぶりに数学を勉強すると，忘れてることが多すぎる．

今回はどう考えたか？

「ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が線型独立 $\Rightarrow$ $\mathrm{det}(\mathbf{a},\mathbf{b})\ne 0$ 」

と等価な証明をするには，

「 $\mathrm{det}(\mathbf{a},\mathbf{b})=0$ $\Rightarrow$ ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ が線型従属」

を示せばいいというわけだ．本では2次元ベクトルで話が進んでいたので，2次元ベクトルで考えてよいだろう．

そこで， $\mathbf{a}=(a_0,a_1)$ と $\mathbf{b}=(b_0,b_1)$ とすると， $\mathrm{det}(\mathbf{a},\mathbf{b})=a_0b_1-a_1b_0 = 0$ であるわけで，それを用いて線型従属であることを示せばいい．

さらに，この本で（少なくともこの定理が出てきた段階では）線型従属の定義が「2つのベクトルが平行の場合」とさらっと述べているだけなので，平行であることを示せば線型従属と言ってよいだろう．

つまり， $\dfrac{(\mathbf{a},\mathbf{b})}{||\mathbf{a}||\cdot ||\mathbf{b}||}=\cos \theta = \pm1$ であることを示せばよい（なぜなら2つのベクトルが平行ということはなす角 $\theta$ が0 または $\pi$ ）．